Die Schlussrechnung

Bei einer Schlussrechnung (auch Dreisatz genannt) geht es darum, dass man einen “vierten Wert” berechnet. Genau genommen geht es bei der Schlussrechnug um Verhältnisgleichungen, nur in einer anderen Form.

Es geht immer um folgendes Prinzip:

Wenn wir a haben, dann haben wir b.
Wenn wir c haben, dann haben wir d.

Bei einer Schlussrechnung haben wir jedoch a, b und c gegeben und d ist gesucht!

Beispiele folgen in Kürze!

Was ist ein Bruch? (Grundlagen)

In diesem Mathematik Blog-Eintrag erfährst du, was ein Bruch ist.

Sicher hat du schon einmal gehört, dass man eine Pizza teilen kann. Du kannst sie in zwei, drei, vier, fünf, usw. Teile teilen, jenachdem wie groß die Pizzaschnitte werden soll. Je kleiner die einzelne Pizzaschnitte wird, in desto mehr Teile kannst du die ganze Pizza teilen.

Du kannst aber auch eine Torte auf verschiedene Personen aufteilen. Angenommen 6 Menschen wollen eine Torte essen und jeder will gleich viel davon haben. Dann muss man diese Torte in 6 gleich große Teile teilen.

Genau so kann man sich auch Brüche (auch Bruchzahlen genannt) vorstellen. Ein Ganzes (Pizza, Torte, usw.) kann man in mehrere Teile teilen.

\( 1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{2}{2}\)
Eine Pizza wird auf zwei Teile aufgteilt:
Ein Halb plus ein Halb sind zwei Halbe.

\(1 = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{3}{3}\)
Eine Pizza wird auf drei Teile aufgteilt.
Ein Drittel plus ein Drittel plus ein Drittel sind drei Drittel.

\(1 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{4}{4}\)
Eine Pizza wird auf vier Teile aufgteilt.
Ein Viertel plus ein Viertel plus ein Viertel plus ein Viertel
sind vier Viertel.

Das kann man so nun endlos weiter machen!
Alle Teile zusammen ergeben wieder ein Ganzes!

Der Bruch bzw. der Bruchterm

Ein Bruch - Ein Bruchterm
Oben befindet sich der Zähler, unten der Nenner und in der Mitte der Bruchstrich.
Alles zusammen nennt man einen Bruch bzw. Bruchterm.

Vielleicht hast du dich schon gefragt, wie man die Zahl oberhalb und die Zahl unterhalb des Strichs nennt.

Man nennt die Zahl oben den Zähler und die Zahl unten den Nenner. In der Mitte befindet sich der Bruchstrich.

Alles zusammen nennt man das einen Bruch bzw. Bruchterm.

Beispiel: \(\frac{1}{4}\)

In diesem Beispiel ist die Zahl 1 der Zähler, die Zahl 4 ist der Nenner und in der Mitte ist wieder ein Bruchstrich.

Bitte merken:

  • Ein Bruch teilt immer eine ganze Zahl in mehrere Bruchteile.
  • Es können aber auch nur einzelne Teile (Pizzaschnitten) von einem Ganzen (eine ganze Pizza) vorhanden sein.
  • Oben steht immer der Zähler
  • Unten steht immer der Nenner
  • In der Mitte befindet sich immer der Bruchstrich

Skalenniveaus – Nominalskala, Ordinalskala, Intervallskala und Verhältnisskala

Was bedeuten Begriffe wie Nominaskala, Ordinalskala, Intervallskala oder Verhältnisskala? In diesem Blog-Eintrag erfährt ihr es!

Skalenniveaus sind ein wichtiger Bestandteil in der Statistik (einem Teilgebiet der Mathematik) und beschreiben Merkmalsträger (wie Personen, Pflanzen, Tiere, Versuchsobjekte, usw.) und deren messbaren Merkmale (Wohnort, Farbe, Größe, Vorlieben, Temperatur, Geltwert, usw.). Diese Merkmale haben unterschiedliche Ausprägungen (ganz konkrete Werte), die auf unterschiedlichen “Skalen” liegen können.

Es gibt zwei große Gruppen von Skalenniveaus. Zum einen die Qualitative Skalen (kann man abzählen) und zum anderen die Quantitativen Skalen (werden gemessen).

Zu den Qualitativen Skalen gehörtdie Nominalskala und die Ordinalskala. Zu den Quantitativen Skalen gehörendie Intervallskalen die Verhältnisskalen.

ACHTUNG: Die Werte von Quantiative Skalen verwenden auf Zahlengeraden mit unterschiedlichen Werten!

Die Nominalskala

Stellt euch vor, ihr sitzt in einer Klasse oder in einem Hörsaal und ihr könnt abzählen, wieviele von euch aus der Stadt Wien, aus St. Pölten oder aus Krems kommen. Ihr könnt aber auch abzählen, wieviele von euch eine blaue, rote oder grüne Jacke anhaben oder wer von euch blaue, graue oder braune Augen hat. Ihr könnt aber auch abzählen, wieviele von euch Justin Biber, Ellie Goulding, Keen’V oder TAL hören.

Merke: Werte in der Nominalskale haben keine vorgegeben Ordnung, sondern haben endlich viele mögliche abzählbare Werte wie Orte, Farben, Namen, Musiker-Namen, usw.

Auch gehören Kennzeichen-Nummern von Autos, Name der groten durchfahrenen Gemeinde (mit Ausnahme Wien und Salzburg) und Autohersteller zur Nominalskala.

Die Ordinalskala

Ihr kennt doch sicher Schulnoten. Diese können einen Wert zwischen 1 und 5 annehmen. Vielleicht habt ihr auch schon mal bei einer Umfrage teilgenommen und konntet irgend etwas (letzter Urlaub, eine App im App-Store, euren letzten Ausflug, usw. ) mit einem Wert zwischen 1 und 10 bewerten. Auch Platzierungen bei Wettrennen (Skifahren, Autorennen, Pferderennen, usw.) entsprechen Bewertungen mit einer Reihenfolge (Erster, Zweiter, usw.).

Merkt euch: Wenn ihr irgend etwas bewerten könnt (zum Beispiel eure Lehrer in der Lehrerbewertungsapp Lernsieg), dann handelt es sich um die sogenannte Ordinalskala!

Quantitative Skalen

Alfred misst jede Stunde zwischen 6 Uhr früh und 18 Uhr am Abend die Außentemperatur vor seinem Fenester mit Hilfe eines Termometers. Von diesen Werten will er den Mittelwert berechnen und erhält so die mittlere Temperatur des Tages. Wenn es ihm Spaß macht, kann er auch die Werte einzeln zusammen zählen und erhält so die Summe von einzelnen Werten.

Er kannt aber auch beobachten, zu welcher Uhrzeit sich die Blüten des Apfelbaumes öffnen und rechnet sich aus um welche Uhrzeit herum sie sich durchschnittlich öffnen.

Merke: Bei dieser Skala kann man die Werte addieren oder von ihnen den Mittelwert bilden, jedoch ist der Nullpunkt (zum Beispiel bei der Temperatur) willkürlich gewählt. Weiters gehören auch Daten wie Längengrade, Ankunftszeitpunkte, Erstzulassungsjahre von Autos zu den Intervallskalen

Verhältnisskalen

Johannes durchfährt ungefähr 6 kleine Dörfer bis er zur Arbeit kommt. Lisa jedoch nur 4 Dörfer. Peter jedoch durchfährt 8 kleine Dörfer um zur Arbeit zu gelangen. Insgesamt durchfahren alle zusammen 18 Dörfer. Zusammen macht das 100%. Wieviele Prozent der Dörfer durchfährt Peter und wieviele durchfährt Johannes?
Um das zu berechnen müssen wir ein Verhältnis bilden. Vier Dörfer entsprechen rund 22, 22%, sechs Dörfer entsprechen rund 33,33% und 8 Dörfer entsprechen rund 44,44%.

Bei diesem Beispiel wird klar: Wir bilden, um auf die Prozent-Werte zu kommen, jeweils Verhältnisse. Verhältnisse sind wiederum Quotienten und Quotienten sind nichts anderen als Divisionen.

Merke: Bei Verhältnisskalen darf man Quotienten von Zähldaten wie Gewicht, Größe, Häufigkeiten, Geldwerten, Streckenlange der gewahlten Routen, Fahrtdauer der einzelnen Autos in Stunden, ect. bilden!

Außerdme haben die Verhältnisskalen einen natürlichen Bezugspunkt. Ein Beispiel dafür wäre die Klevin-Skala mit dem Absoluten Nullpunkt, wo die Moleküle keine thermische Bewerung mehr ausführen.

Im Beispiel oben wäre der natürliche Bezugspunkt der Ort der Abfahrt (noch kein Dorf durchfahren). Oder beim Gewicht: Ein Mensch kann nur mehr als Null Kilo haben, da er sonst nichts existiert!

Was du mit welchem Skalenniveau machen darfst

  • Berechnung des Mittelwertes: nur Intervallskala und Verhältnisskala
  • Berechnung des Modus (häufigster Wert): mit allen Skalenniveaus
  • Berechnung der Summe: Intervall und Verhältnisskala
  • Berechnung des Quotienten zweier Werte: Verhältnisskala
  • Berechnung der Hau gkeit des niedrigsten beobachteten Wertes: Ordinalskala, Intervallskala, Verhältnisskala

Zinseszinsformel + Textbeispiele

Mit Hilfe der Zinseszinsformel kannst du berechnen, wieviel Geld ein Sparer nach einer bestimmten Anzahl von Jahren zur Verfügung hat.

\(K_n = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n\)

Dabei stehen die Variablen in der Zinsformel für …

\(K_0\) für das Anfangskapital oder auch Startkapital
\(K_n\) für das Endkapital
\(p\) für den Zinssatz (in %)
\(n\) für die Laufzeit (in Jahren)

Zinseszinsrechnung Textbeispiel 1 – Endkapital berechnen

Peter eröffnet ein Sprachbuch mit 5000 Euro und einem Zinssatz von 5%. Wieviel hat Peter am Ende des 5. Jahres gespart?

Aus der Angabe können wir entnehmen, dass die 5000 Euro unser Startkapital sind, 5% unser Zinssatz. Die Information “am Ende des 5. Jahres” sagt uns, dass die Laufzeit fünf Jahre beträgt. Gesucht ist in diesem Beispiel das Endkapital!

\(K_0\) 5000 Euro
\(K_n\) ist gesucht
\(p\) = 5%
\(n\) = 5 Jahre Laufzeit

Nun setzen wir alle Werte in die Zinseszinsformel ein und berechnen das Ergebnis (=Endkapital)!

\(K_n = 5000 \cdot \left(1 + \frac{5}{100}\right)^5 \approx 5000 \cdot 1,28 \approx 6400 Euro\)

Das Ergebnis (= Endkapital) beträgt gerundet 6400 Euro bei einer jährlichen Verzinsung von 5% und einer Laufzeit von fünf Jahren.

Die Kreiszahl Pi

Die Kreiszahl π ist eine konstante Verhältniszahl (= ein Verhältnis, das sich nie verändert), die das Verhältnis des Umfangs U zum Durchmesser d eines Kreises beschreibt. Das Verhältnis der Kreiszahl π bleibt immer gleich und verändert sich auch nicht, wenn ein Kreis größer oder kleiner wird.

\(\pi = \frac{U}{d} \) – Ein Bruch ist immer auch ein Verhältnis von zwei Zahlen!

Die Kreiszahl π hat den ungefähren Wert von 3,1415926.

Außerdem ist π ist eine irrationale Zahl, daher kann auch nicht als Quotient zweier ganzer Zahlen dargestellt werden.

Jedoch gibt es auch Brüche wie 22/7 häufiger benutzt werden, um Pi schätzungsweise anzugeben. Diese Näherung entspricht dann 3,142857143…

Übrigens entspricht die Kreiszahl Pi einem Winkel im Kreis von genau 180 Grad!

Mehr zu diesem Thema findes du auch hier: