Die matheamatische Grundlage zur Lösung des Beispiels „Impfstoff A_107“ (Teil a) aus dem Mathematik Aufgabenpool sind Lineare Funktionen bzw. Lineare Kostenfunktionen, welche einen linearen Verlauf haben.
Lineare Funktion: \(f(x) = k \cdot x + d\)
Bei der Teil a verwenden wir folgende Kostenfunktion: \(K(x) = k \cdot x + d\)
K(x) steht für die Gesamtkosten, die von der Anzahl x der gekauften Packungen abhängig sind.
Erste Möglichkeit:
Bei der ersten Möglichkeit können Rechte um 10 Millionen Euro (= 10.000.000 Euro) gekauft werden. Diese „10 Millionen Euro“ entsprechen in der Kostenfunktion dem sogeannten „Fixpreis„. Diese Kosten müssen zu den laufenden Kosten für die Produktion hinzugerechnet werden. Fixkosten entsprechen immer dem „d“ in der Linearen Gleichung. Fixkosten müssen unabhängig von der produzierten Stückzahl bezahlt werden.
Die laufenden Kosten betragen 25 Euro pro Packung (=Stückpreis). Dies entspricht der Steigung der Linearen Kostenfunktion. Je höher dieser Stückpreis, desto höher steigen die Kosten und desto steiler wird die Gerade. (–> Direktes Verhältnis!) Die Steigung bzw. die Stückkosten entsprechen immer dem „k“ in der Linearen Gleichung.
Setzt man nun statt d und k die angegeben Werte in die Kostenfunktion oben ein, so erhält man folgende Lineare Gleichung:
\(K_1(x) = 25 \cdot x + 10.000.000\)Zweite Möglichkeit:
Die zweite Möglichkeit geht genauso wie die Erste, jedoch gibt es diesmal keinen Fixpreis (ohne Rechte um 1 Millionen Euro), daher ist „d“ null bzw. nicht verhanden.
Es müssen statt dem Fixpreis höhere Stückkosten bezahlt werden. Diese betragen 50 Euro pro Packung. Diese Kosten entsprechen der Steigung „k“ der Funktion.
Setzt man nun statt d und k die angegeben Werte von oben in die Kostenfunktion ein, so erhält man nun folgende Lineare Gleichung:
\(K_2(x) = 50 \cdot x + 0\)Stell man die beiden Kosten in Geogebra graphisch dar, so kann man erkennen, welche Möglichkeit sinnvoller ist.
Hier der Link zu Geogebra: https://www.geogebra.org/m/ywzfhxzh