In diesem Artikel findest du Übungsbeispiel zum Multiplizieren von Termen mit Variablen.
a) \((a+b) \cdot 4 = a \cdot 4 + b \cdot 4\)
b) \((6b-c) \cdot 5 = 6b \cdot 5 -c \cdot 5 = 30b – 5c\)
Schlagwort: Essling
Bruchterme – Beispiel 1
Hier das erste Beispiel zum Thema Bruchterme:
\(\frac{\not{8}}{\not{7}} \cdot \frac{\not {14}}{\not {16}} – \frac{2}{4} = \frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 2} – \frac {2}{4} = \frac{2}{2} – \frac {2}{4} = \\ = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 2} – \frac {2}{4} = \frac{4}{4} – \frac {2}{4} = \frac {2}{4}\)Vor dem Lösen dieses Beispiels ist es wichtig, dass man sich die Klapustri-Regel in Erinnerung ruft. Klapustri steht für Klammer, Punkt und Strich.
Im obrigen Beispiel ist es wichtig, dass zuerst die Bruchterme mit der Multiplikation gelöst werden. Dafür werden werden die Zahlen 8 und 16 miteinander gekürzt, ebenso 7 und 14.
Danach werden die Bruchterme wie gewohnt ausmultipliziert.
Danach sehen wir, dass wir die Halben auf Viertel bringen müssen. Daher erweitern wir den Bruchterm mit den zwei Halben auf vier Viertel und ziehen davon zwei Viertel ab!
Übrig bleibt das Ergebnis von zwei Viertel.
Potenzen – Grundlagen
Potenzen entstehen, wenn du eine Zahl oder eine Variable mit sich selbst multiplizierst! Potenzen werden auch als Exponenten (Hochzahlen) einer Basis (Grundzahl) bezeichnet.
\(x^n\) – gesprochen: x hoch n
In dem Beispiel oberhalb ist x die Basis (Grundzahl) und n die Potenz/ der Exponent (Hochzahl).
Zwei Beispiele aus dem Alltag für Potenzen sind der Flächeninhalt eines Quadrats und das Volumen eines Würfels.
Die dazugehörigen Formeln dazu sind \(A = a \cdot a = a^2\) für die Flächeninhalt und \(V = a \cdot a \cdot a = a^3\) für das Volumen.
Je öfters eine Zahl oder Variable mit sich selbst multipliziert wird, desto höher wird die Potenz einer Zahl bzw. einer Variable.
\(x^n = x \cdot x \cdot … \cdot x \cdot x\)Wenn eine Zahl oder eine Variable n-mal mit sich selbst mulipliziert wird, so sagt man auch, dass die Zahl oder Variable die n-te Potenz besitzt.
\(x^0 = 1\)
\(x^1 = x\)
\(x^2 = x \cdot x\)
\(x^3 = x \cdot x \cdot x\)
\(x^4 = x \cdot x \cdot x \cdot x\)
\(x^5 = x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x\)
\(x^6 = x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \)
Statt der Variable x als Basis können wir genauso Zahlen einsetzen! In unserem Beispiel haben wir die Zahl 2 eingesetzt.
\(2^0 = 1\)
\(2^1 = 2\)
\(2^2 = 2 \cdot 2 = 4\)
\(2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8\)
\(2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16\)
\(2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2= 32\)
\(2^6 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2= 64\)
Statt Zahlen oder Variablen wie x und y könnten wir auch jede Menge Emojis in die Basis verwenden.
💥 hoch 1 = 💥
💩 hoch 2️ = 💩🔹💩
🤮 hoch 3️ = 🤮🔹🤮🔹🤮
💀 hoch 4️ = 💀🔹💀🔹💀🔹💀
🎃 hoch 5️ = 🎃🔹🎃🔹🎃🔹🎃🔹🎃
Der Vorgang, wenn wir eine Zahl, Variable, Kack-Emojis oder Kotzbrocken-Emojis mit sich selbst multiplizieren, wird auch „potenzieren“ genannt. Wir potenzieren die Zahl 5 mit der Potenz 4.
\(5^4 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 625\)Übrigens: Das Ergebnis einer Potenzierung wird auch Potenzwert genannt. Irgendwas hoch Irgendwas ist der Potenzwert.
Gleichungssystem mit zwei Variablen (Unbekannten)
In diesem Artikel erfährt ihr, was Gleichungsysteme mit zwei Variablen (x und y) sind und mit welchen mathematischen Lösungsverfahren ihr sie lösen könnt!
Die Grundlage dieses Themas ist ein Gleichungsystem mit zwei oder mehreren Gleichungen und mit zwei unterschiedlichen Variablen. Meist werden die Variablen x und y dafür verwendet.
Die wichtigste Gleichung, die ihr euch merken müsst, ist folgende Gleichung:
\( a \cdot x + b \cdot y = c \)Wie Ihr vielleicht erkennen könnt, besteht die Gleichung aus der Summe von zwei Produkten. Die Buchstaben a und b stellen zwei Konstanten dar und x und y die zwei Variablen/ Unbekannten.
Zum Lösen eines Gleichungssystems mit zwei Variablen braucht man mindestens zwei Gleichungen. I und II bezeichnen jeweils die erste (I) bzw. die zweite (II) Gleichung.
\(I: a_1 \cdot x_1 + b_1 \cdot y_1 = c_1 \\II: a_2 \cdot x_2 + b_2 \cdot y_2 = c_2 \)
Das Ziel ist es, zwei unbekannte Variablen x und y oder a und b zu bestimmen (= herausfinden). Man nennt dies auch das „Lösen des Gleichungssystems„.
Die Lösung eines Gleichungssystems erfolgt unter anderem mit Hilfe der folgenden mathematischen Lösungsverfahren:
- Gleichsetzungsverfahren
- Einsetzungsverfahren
- Eliminationsverfahren
- Graphisches/ Geometrisches Lösungsverfahren
Mit dem graphischen/ geometrischen Lösungsverfahren kann man die Lösung des Gleichungssystems sehr gut veranschaulichen.
\(I: 5 \cdot x_1 + 25 \cdot y_1 = 20 \\II: 8 \cdot x_2 + 4 \cdot y_2 = 16 \)
Geometrisch gesehen stellen die zwei Gleichungen nämlich zwei Geraden geraden dar, die entweder einen Schnittpunkt, keinen Schnittpunkt oder endlos viele Schnittpunkte (wenn sie parallel liegen) besitzen.
Schnittpunkt von zwei Geraden in einem Gleichungssystem
mit den zwei Variablen x und y
(die Grafik wurde mit Hilfe von Geogebra erstellt)
Summe – Addition
Als Summe bezeichnet man das Ergebnis von einer Addition. Bei einer Addition werden zwei Summanden zu einer Summe addiert.
Summand + Summand = Summe
Hier ein paar Beispiele:
\( 3 + 6 = 9 \\ 12 + 8 = 20 \\ 18 + 6 = 24 \\ 32 + 32 = 64 \)Eine Summe kann übrigens auch das Ergebnis von zwei Bruchtermen mit gleichem Nenner sein oder Ergebnis von zwei Klammertermen. Hierzu ein paar Beispiele:
Beispiele zu Addition von Brüchen
\(\frac{6} {10} + \frac{4} {10} + \frac{10} {10} = \frac {20} {10} = 2\\\frac{3} {6} + \frac{2} {6} = \frac{5} {6}
\)
Beispiele zur Addition von Klammern
\((6 \cdot 4) + (2 \cdot 3) = 24 + 6 = 30\\(5 \cdot 5) + (2 \cdot 5) = 25 + 10 = 35\)