Schlagwort: Mathematik AHS Oberstufe

Kosten Diskothek-Besuch (Lineare Funktion)

Lisa und ihr Freund Peter gehen öfters Diskotheks in Wien besuchen, um anstrengende Arbeitswochen ausklingen zu lassen.

Beispiel 1

Einmal wollen sie nur Kokus-Coctails trinken gehen. Sie müssen dazu einen Eintritt von 12 Euro zahlen*. Jeder Cocktail kostet 4,5. Sie bestellen insgesamt fünf Cocktails.

1) Wieviel kostet ihr Besuch insgesamt? Wieviel kostet ihr Besuch insgesamt, wenn sie einen weiteren Cocktail bestellen?

2) Stelle die Kostenfunktion des Besuchs als Lineare Funktion graphisch dar! Wie lauten diese Kostenfunktion?

Lösung Beispiel 1:

Mathematisch gesehen handelt es sich bei diesem Beispiel um eine Lineare Funktion nach dem Schema:

\(f(x) = k \cdot x + d\)

Dabei entspricht:
k = Preis für einen Cocktail (Steigung)
x = Anzahl der Cocktails
d = Eintrittspreis (Fixpreis)
f(x) = y = Preis für den gesamten Besuch

Setzt man nun k (=4,5 Euro) und d (=15 Euro) in die Lineare Funktion ein, so erhällt man folgende Kostenfunktion:

\(f(x) = 4,5 \cdot x + 15\)

Je nach Anzahl der bestellten Cocktails muss am Ende etwas anderes bezahlt werden. Je mehr Cocktails, desto höher der Gesamtpreis für den Besuch (inklusive Eintrittspreis).

Für x = 5 (=5 Cocktails) erhält man folgende Gleichung:

\(f(5) = 4,5 \cdot 5 + 15 = 37,5\)

Für einen zusätzlichen Cocktail x = 6 (6 Cocktails) erhält man folgende Gleichung:

\(f(6) = 4,5 \cdot 6 + 15 = 42\)

Die graphische Lösung von Beispiel 1 gibt es auf Geogebra: https://www.geogebra.org/m/e339tfaz

* Hinweis: Die Preisangaben in den Beispielen oberhalb sind frei erfunden und dienen lediglich Anschaungszwecken.

Lineare Funktion – y = k*x + d

Geraden als Funktion – die Lineare Funktion – In diesem Blog-Eintrag erfährst du, was es mit der Linearen Funktion auf sich hat, wie sie aussieht und was es mit der Steigung und der Verschiebung auf der y-Achse auf sich hat.

Die allgemeine Form der Linearen Funktion in der expliziten Darstellung sieht so aus:

\( f(x) = k \cdot x + d\)

Hinweis: Oft wird anstatt f(x) auch y geschrieben. Beides bedeutet das Gleiche, nur sind es unterschiedliche Schreibweisen.

Übrigens entspricht x dem Definitionswert (aus dem „Definitionsbereich“) und f(x) bzw. y dem Funktionswert einer Funktion.

Sicher fragst du dich jetzt, was die Steigung der Gerade und Verschiebung auf der y-Achse für eine Bedeutung haben.

Kurz gesagt sind k und d zwei Parameter, die eine Auswirkung auf f(x) bzw. y haben, wenn man sie verändert.

k nennt man die Steigung (der Geraden) und
d nennt man die Verschiebung auf der y-Achse.

Mit Hilfe dieser Geogebra-Animation (auf den Link klicken) könnt ihr sehen, wie sich die Gerade verändert, wenn ihr einen oder beide Parameter verändert.

Verschiebe den Regler von k und d hin und her und beobachte, wie sich die Gerade verändert!

Je größer die Steigung k wird, desto steiler wird die Gerade.
Je kleiner die Steigung k wird, geringer wird die Steigung.
Eine Gerade hat keine Steigung, wenn k = 0 ist.

Ist die Steigung positiv, so geht die Gerade nach obene.
Ist die Steigung negativ, so geht die Gerade nach unten.

Der Parameter d beschreibt eine Art Grundmenge von der wir „starten“ bzw. beschreibt d den Punkt auf der y-Achse durch den die Gerade geht.

Die Lineare Funktion ist auch ein Beispiel für die sogenannte „Direkte Proportion„:

Steigungen können das Wachstum veranschaulichen. Je größer die Steigung, desto schneller wird das Wachstum eines Vorgangs.

Je größer die Beschleunigung eines Autos, desto schneller Fährt es.
Je mehr Autos in einer Stunde produziert werden, desto mehr Angestellte braucht man, um die Autos zu produzieren.

Übungsbeispiele:

Multiplizieren von Termen – Übungsbeispiele 1

In diesem Artikel findest du Übungsbeispiel zum Multiplizieren von Termen mit Variablen.

a) \((a+b) \cdot 4 = a \cdot 4 + b \cdot 4\)
b) \((6b-c) \cdot 5 = 6b \cdot 5 -c \cdot 5 = 30b – 5c\)

Bruchterme – Beispiel 1

Hier das erste Beispiel zum Thema Bruchterme:

\(\frac{\not{8}}{\not{7}} \cdot \frac{\not {14}}{\not {16}} – \frac{2}{4} = \frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 2} – \frac {2}{4} = \frac{2}{2} – \frac {2}{4} = \\ = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 2} – \frac {2}{4} = \frac{4}{4} – \frac {2}{4} = \frac {2}{4}\)

Vor dem Lösen dieses Beispiels ist es wichtig, dass man sich die Klapustri-Regel in Erinnerung ruft. Klapustri steht für Klammer, Punkt und Strich.

Im obrigen Beispiel ist es wichtig, dass zuerst die Bruchterme mit der Multiplikation gelöst werden. Dafür werden werden die Zahlen 8 und 16 miteinander gekürzt, ebenso 7 und 14.

Danach werden die Bruchterme wie gewohnt ausmultipliziert.

Danach sehen wir, dass wir die Halben auf Viertel bringen müssen. Daher erweitern wir den Bruchterm mit den zwei Halben auf vier Viertel und ziehen davon zwei Viertel ab!

Übrig bleibt das Ergebnis von zwei Viertel.

Potenzen – Grundlagen

Potenzen entstehen, wenn du eine Zahl oder eine Variable mit sich selbst multiplizierst! Potenzen werden auch als Exponenten (Hochzahlen) einer Basis (Grundzahl) bezeichnet.

\(x^n\) – gesprochen: x hoch n

In dem Beispiel oberhalb ist x die Basis (Grundzahl) und n die Potenz/ der Exponent (Hochzahl).

Zwei Beispiele aus dem Alltag für Potenzen sind der Flächeninhalt eines Quadrats und das Volumen eines Würfels.

Die dazugehörigen Formeln dazu sind \(A = a \cdot a = a^2\) für die Flächeninhalt und \(V = a \cdot a \cdot a = a^3\) für das Volumen.

Je öfters eine Zahl oder Variable mit sich selbst multipliziert wird, desto höher wird die Potenz einer Zahl bzw. einer Variable.

\(x^n = x \cdot x \cdot … \cdot x \cdot x\)

Wenn eine Zahl oder eine Variable n-mal mit sich selbst mulipliziert wird, so sagt man auch, dass die Zahl oder Variable die n-te Potenz besitzt.

\(x^0 = 1\)
\(x^1 = x\)
\(x^2 = x \cdot x\)
\(x^3 = x \cdot x \cdot x\)
\(x^4 = x \cdot x \cdot x \cdot x\)
\(x^5 = x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x\)
\(x^6 = x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \)

Statt der Variable x als Basis können wir genauso Zahlen einsetzen! In unserem Beispiel haben wir die Zahl 2 eingesetzt.

\(2^0 = 1\)
\(2^1 = 2\)
\(2^2 = 2 \cdot 2 = 4\)
\(2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8\)
\(2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16\)
\(2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2= 32\)
\(2^6 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2= 64\)

Statt Zahlen oder Variablen wie x und y könnten wir auch jede Menge Emojis in die Basis verwenden.

💥 hoch 1 = 💥
💩 hoch 2️ = 💩🔹💩
🤮 hoch 3️ = 🤮🔹🤮🔹🤮
💀 hoch 4️ = 💀🔹💀🔹💀🔹💀
🎃 hoch 5️ = 🎃🔹🎃🔹🎃🔹🎃🔹🎃

Der Vorgang, wenn wir eine Zahl, Variable, Kack-Emojis oder Kotzbrocken-Emojis mit sich selbst multiplizieren, wird auch „potenzieren“ genannt. Wir potenzieren die Zahl 5 mit der Potenz 4.

\(5^4 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 625\)

Übrigens: Das Ergebnis einer Potenzierung wird auch Potenzwert genannt. Irgendwas hoch Irgendwas ist der Potenzwert.